I Fondamenti della Geometria

«La geometria», ricorda Bertrand Russell nell'introduzione al volume, «è stata fino al secolo XVIII, nella guerra contro l'empirismo, la fortezza inespugnabile degli idealisti». Ma il secolo XIX doveva contraddire questa rigida limitazione, negando la necessità, per la definizione dello spazio, del quinto postulato di Euclide: con la nascita delle prime geometrie non-euclidee si introduceva infatti, nel mondo della pura astrazione, l'elemento empirico, il riferimento all‘esperienza sensibile (ad esempio, l'assioma che il numero delle dimensioni è tre).
Il libro è diviso in quattro capitoli; nel primo viene illustrata, quale preliminare all‘analisi logica della geometria, la nascita dei sistemi non-euclidei; nel secondo si descrivono alcuni punti di vista della filosofia che in qualche modo anticipino problematiche vicine a quelle in esame; nel terzo si tratta della geometria proiettiva, della quale si rileva come sia completamente a priori, e si distinguono i tipi di assiomi necessari a definire spazi euclidei e non-euclidei; infine, nel quarto capitolo, si conclude la disamina dei fondamenti della geometria dimostrando «l'impossibilità logica, se questo tipo di conoscenza deve essere liberata dalle contraddizioni, di astrarla completamente da ogni riferimento alla materia contenuta nella forma».
Un richiamo, dunque, all'intima verità sperimentale della geometria, che suona tanto più attuale se si pensa che le intuizioni di Russell inconsapevolmente anticipavano una scoperta degli anni a venire, e cioè che uno spazio soggetto alle leggi della relatività generale è necessariamente non-euclideo.